نوع مقاله : مقاله پژوهشی
مقدمه
درس ریاضی یکی از اصولیترین دروس در سیر تحصیلی است. ریاضیات، حوزهای از دانش است که به مطالعهی اعداد، فرمولها و ساختارهای مرتبط، اشکال و فضاهایی که در آن قرار دارند، کمیتها و تغییرات آنها میپردازد (کلمنتس و ساراما،2023 ). ریاضیات فقط مجموعهای از اعداد، نمادها و فرمولها نیست که به دنیای واقعی مربوط نشود، بلکه ریاضیات از دنیای واقعی شروع میشود (بوردبنت[1]، 2017 و ماندی[2]، 2020) یادگیری فعال ریاضیات باعث میشود که دانش آموزان درکی صحیح از مفاهیم ریاضی و توانایی حل موثر مسائل را داشته باشند. دانش آموزان، ریاضی را خسته کننده و ترسناک میدانند زیرا معلمان از آنها میخواهند به طور انتزاعی فکر کنند (مارکوویتز[3]، 2021). آموزش ریاضی شامل تمام مفاهیمی است که فرایند یادگیری و آموزش آن را برای درک عمیقتر از ریاضیات تسهیل میکند. در دوره ابتدایی این آموزش با هدف آشنایی دانشآموزان با مفاهیم محاسباتی، اندازهگیری و تخمین کمیتها از طریق تقویت نظم، استدلال و قضاوت منطقی تدوین شده است (غلام آزاد،1401). یکی از موضوعاتی که در محتوای ریاضی به سختی قابل درک است، ضرب است. (صالح[4]، 2020). ضرب یکی از موضوعات در محتوای ریاضی است. ضرب به دلیل کاربردهای فراوانی که در زندگی روزمره دارد در فرایند یادگیری بسیار مهم است. مفهوم اصلی ضرب یک جمع مکرر است. (چن[5]، 2019 و اسمیت[6] و همکاران، 2010). آموزش ریاضی در دوره ابتدایی یک گام حیاتی در توسعه مهارتهای ریاضی دانش آموزان است و تاثیر عمیقی بر تواناییهای آنها در حل مساله و تفکر منطقی دارد. روشهای آموزشی جذاب و متنوع، یادگیری را لذت بخشتر و متنوعتر میکند. (کلمنتس و ساراما،2023 ). اگر دانش آموزان بتوانند از وسایل و ابزارهایی استفاده کنند که درک آنها را از خود ضرب تسهیل کنند، ضرب را به راحتی درک میکنند. یادگیری مفهوم ضرب میتواند از طریق داستان و تصاویر باشد تا به یادگیری سرگرم کننده و معنادار برای دانش آموزان بیانجامد. براساس مشاهدات انجام شده توسط محققان بر روی دانش آموزان پایه سوم ابتدایی در اندونزی، فرایند یادگیری ضرب همچنان بدون درک میباشد این مسئله دانش آموزان را در یادگیری ضرب کٌند میکند. علاوه براین یادگیری ضرب برای دانش آموزانی که تنها از طریق تخته سیاه به عنوان رسانه استفاده میکنند، جذابیت کمتری دارد زیرا اساساً دانش آموزان دبستانی از فعالیتهای سرگرم کننده و لذت بخش و روشهای یادگیری گام به گام خوشحال میشوند (اولرتن[7]، 2019).
کولار[8] و همکاران (2010) در مطالعه خود راه حلهای کودکان برای حل مسائل ضرب را بررسی کردند و دریافتند که راه حل براساس اعداد درگیر، ساختارهای درکی و زمینهی مشکل، متفاوت است. تیروش[9] (2015) معتقد است که ریاضیات و کاربردهای آن باید از همان ابتدا به عنوان یک جز ضروری آموزش داده شود. کیانا(1401) پژوهشی تحت عنوان آسیب شناسی آموزش مجازی جدول ضرب به دانش آموزان سوم ابتدایی در دوران شیوع بیماری covid-19 و با هدف آسیب شناسی آموزش مجازی جدول ضرب به دانش آموزان پایه سوم ابتدایی در منطقه 18 تهران انجام داد. عمدهترین یافتههای پژوهش بیانگر آن است که در آسیب شناسی آموزش مجازی درس ریاضی عوامل مربوط به معلم، دانش آموزان و کلاس مؤثر میباشند. همچنین نتایج حاصل از پژوهش نشان داد که در آسیب شناسی آموزش مجازی جدول ضرب چالشهای فردی و چالشهای مربوط به یادگیری تأثیرگذار میباشند. همچنین راهکارهای کاهش آسیبهای آموزش مجازی جدول ضرب شامل راهکارهای مربوط به خانواده و دانش آموزان و راهکارهای مربوط به مدرسه دخیل میباشند. برخی از تحقیقاتی که حول محور آموزش ضرب در دوره ابتدایی انجام شده است، بیانگر این است که کتابهای درسی کشورهای مختلف هم در ساختار و هم در پیچیدگیها و فرصتهای یادگیری که برای دانش آموزان ارائه میدهند متفاوت است. علاوه بر این، نحوه استفاده معلمان از کتابهای درسی بین کشورهای مختلف و همچنین بین رشتههای مختلف آموزشی در یک کشور متفاوت است. نویسندگان استدلال میکنند که برخی از عواملی که بر این مسائل تاثیر میگذارند از سنت فرهنگی است که شامل سازماندهی سیستم آموزشی، سنتهای آموزشی، ارزشها و باورهای معرفتی و شرایط اجتماعی و اقتصادی دانش آموزان و معلمان است. (گلسنویک[10] و همکاران، 2019) این بحث بر تکنیکهای طراحی آموزشی جدید برای تولید افرادی که میتوانند مفاهیم حساب بنیادی را درک و اعمال کنند، تاکید دارد. یک مسئله اصلی و مداوم این است که چگونه محیطهای آموزشی، شرایط، روشها و راه حلهایی را برای دستیابی به اهداف یادگیری برای دانش آموزان با سطوح مختلف مهارت و توانایی فراهم کنیم. رویکردها و تکنیکهای آموزشی نواورانه باید توسعه یابد تا اطمینان حاصل شود که دانش آموزان موفق شوند ((MoE، 2019).
با اذعان به مطالب فوق، میتوان گفت که دغدغهی اصلی پژوهش حاضر با توجه به مشکلات عدیدهای که دانش آموزان دوره ابتدایی با آن روبرو هستند و با توجه به اینکه اندک شماری از دانش آموزان هستند که تمایل به شرکت در فعالیتهای یادگیری درس ریاضی را دارند و این درس به غول ناشناخته، همیشه مورد دغدغه دانش آموزان بوده است و با توجه اینکه دانش آموزان دوره ابتدایی تفکر انتزاعی را دارا نمیباشند و آموزش درس ریاضی علی الخصوص آموزش ضرب بدون توجه به درک صحیح این مهارت، از جمله مشکلاتی است که هر معلم ریاضی و دانش آموزی با آن دست و پنجه نرم میکند. کنترل و مدیریت عوامل دخیل در یادگیری و آموزش ضرب اهمیت فراوانی دارد. آموزش درست ضرب اثرات قابل توجهی در همه جوانب زندگی بشر دارد اینکه دانش آموز بتواند در معاملات روزانه خود که یک مهارت زندگی است درست حساب کند، اینکه عمل ضرب مقدمه ورود به بحثهای پیچیده ریاضیات که مساوی با زندگی است میباشد و اگر درست درک نشود پایه ورود به دنیای پیچیده محاسبات ممکن نخواهد بود، اینکه ضرب میانبری برای جمعهای گسترده است اهمیت دارد درک شود تا بتوان زودتر به پاسخ مسئله رسید و اهمیت فراوان دیگری که ضرب میتواند در آن دخیل باشد در حالی که ریاضیات میتواند برای بسیاری از دانش آموزان چالش برانگیز باشد، یک رویکرد تدریس خوب میتواند تفاوت قابل توجهی در تجربه یادگیری آنها ایجاد کند. همانطور که در گذشته بود، اکثر مردم امروز هنوز معتقدند که ریاضیات همه چیز در مورد محاسبات است. با این حال، محاسبات برای ریاضیدان ها صرفا ابزاری برای درک ساختارها، روابط و الگوهای مفاهیم ریاضی و در نتیجه تولید راه حل برای مسائل پیچیده زندگی واقعی است. این دیدگاه ریاضیدان ها توجه و اهمیت بیشتری را با پیشرفتهای سریع در فن آوری های اطلاعات و ارتباطات به دست آورده است. این یک ضرورت برای مردم در تمام سنین برای رسیدن، تجزیه و تحلیل و استفاده از دانش ریاضی به طور موثر و کارآمد برای شهروندان موفق در این عصر اطلاعات است (اسپارکز و سارا[11]، 2021) به طور خاص، دانش آموزان باید به خوبی با دانش ریاضی سطح بالاتر مجهز شوند. کیفیت آموزش و یادگیری در ریاضیات یک چالش بزرگ برای مربیان و دانش آموزان است. نگرانی عمومی در مورد پیشرفت ریاضیات در 20 سال گذشته مشهود بوده است. بحث فعلی در میان محققان در مورد آنچه دانش آموزان باید یاد بگیرند و چگونه باید آن را یاد بگیرند تا در ریاضیات موفق شوند، میباشد. در تلاش برای درک عوامل مرتبط با پیشرفت ریاضیات، محققان بر بسیاری از عوامل موثر متمرکز شدهاند (متیوتو[12]، 2014).
با اذعان به مطالب فوق ضرورت و اهمیت پژوهش حاضر نمایان میشود و میتوان به این موضوع اشاره نمود که دغدغه اصلی پژوهش حاضر که اهمیت آن طبق گفته محققان طی 20 سال گذشته بود است، شناسایی عوامل موثر بر آموزش ضرب اساسی در دوره ابتدایی است. بنابراین در دو حوزه نظری و عملی ضرورت و اهمیت پژوهش حاضر را میتوان ذکر نمود: در بخش نظری با اتکا به مرور پژوهشهای مرتبط با آموزش ضرب اساسی دید کلی نسبت به پژوهش انجام شده انجام خواهد گرفت و بر دایره مفهومی و مبانی نظری عوامل موثر بر آموزش ضرب را نمایان میکند. در بخش عملی، نتایج این پژوهش میتواند راهکارهای جامع و مانعی را برای آموزش ضرب به معلمان، دانش آموزان و دست اندرکاران تالیف کتب درسی به ارمغان بیاورد و کاربست این عوامل و یا مهار عوامل سوء، بیش از پیش شاهد نمایان شدن مهارتهای ریاضی در دانش آموزان باشیم. بر این اساس بر این اساس، مطالعه حاضر با هدف شناسایی و سطحبندی عوامل مؤثر بر آموزش ضربهای اساسی در پایه سوم انجام و سؤالات زیر مطرح شد:
عوامل مؤثر بر آموزش ضربهای اساسی در پایه سوم کدام است؟
سطحبندی عوامل مؤثر بر آموزش ضربهای اساسی در پایه سوم بر اساس رویکرد ساختاری تفسیری چگونه است؟
روش
پژوهش حاضر از نظر هدف، کاربردی و از حیث گردآوری دادهها، توصیفی- پیمایشی به منظور مدل سازی میباشد. جامعه آماری پژوهش را خبرگان، استادان و صاحب نظران در حوزه آموزش ریاضی تشکیل دادند که با توجه به پراکندگی جامعه از روش نمونه گیری هدفمند استفاده شد. از آنجایی که در روش مدلسازی ساختاری تفسیری پیشنهاد شده است حداقل از نظرات 5 خبره استفاده شود، در پژوهش حاضر 10 نفر از خبرگان شامل 4 زن و 6 مرد با مدرک دکتری انتخاب شدند. معیارهای انتخاب خبرگان آشنا بودن با روشهای تدریس نوین ریاضی، سابقه خدمت، رشته تحصیلی مرتبط و داشتن پژوهش ثبت شده در مباحث مربوط به آموزش و یادگیری ریاضی بود. روش گردآوری دادهها، کتابخانهای و میدانی بود. به این صورت که برای دستیابی به پیشینه پژوهش، مبانی نظری و استخراج عوامل مؤثر بر آموزش ضربهای اساسی در پایه سوم با مراجعه به سایتهای علمی معتبر و با به کار گیری واژگان کلیدی، مقالات مرتبط انتخاب و 11 عامل مؤثر بر آموزش ضربهای اساسی در پایه سوم استخراج گردید. سپس با نظر خبرگان مربوطه عوامل تعدیل شد و 8 عامل، به عنوان عوامل نهایی انتخاب گردید. ابزار گردآوری دادهها پرسشنامه محقق ساخته بود که بر اساس مدل ISM طراحی شد. روایی پرسشنامه بر اساس دیدگاه صاحبنظران 89/0 به دست آمد. سپس این پرسشنامه بین خبرگان (متخصصان موضوع) توزیع و در نهایت نیز با تحلیل و ارزیابی پرسش نامهها مدلی با رویکرد مدل سازی ساختاری تفسیری ارائه گردید. برای تجزیه و تحلیل دادهها و ارائهی مدل عوامل مؤثر بر آموزش ضربهای اساسی در پایه سوم از رویکرد مدلسازی ساختاری تفسیری استفاده شد. در ادامه این رویکرد به تفصیل توضیح داده شده است.
تکنیک ISM توسط وارفیلد (1974) مطرح شد. ISM فرآیند یادگیری تعاملی است که از طریق تفسیر نظرات گروهی از خبرگان به چگونگی ارتباط بین مفاهیم یک مسئله میپردازد و ساختاری جامع از مجموعهی پیچیدهای از مفاهیم ایجاد میکند و افزون بر مشخص کردن تقدم و تأخر تأثیرگذاری عناصر بر یکدیگر، جهت و شدت رابطهی عناصری که مجموعهی پیچیده را در ساختار سلسله مراتب تعیین میکند. در این مرحله عوامل شناسایی شده با استفاده از ISM سطحبندی شده است. مراحل مختلف ISM به شرح زیر میباشد:
1. تشکیل ماتریس خود تعاملی ساختاری (SSIM)؛ عوامل شناسایی شده وارد ماتریس خود تعاملی ساختاری میشوند. در این ماتریس اگر عنصر سطر i منجر به ستون j شود، حرف V؛ اگر عنصر ستون j منجر به سطر i شود، حرف A را قرارداده و در صورتی که این رابطه دو طرفه باشد، حرف X و اگر ارتباطی نباشد، حرف O قرار داده میشود.
از آنجا که در این تحقیق برای پر کردن پرسشنامهها از چند خبره استفاده شده برای تشکیل ماتریس خود تعاملی ساختاری از روش مد بر اساس بیشترین فراوانی در هر درایه استفاده شده است.
2. تشکیل ماتریس دستیابی اولیه (RM)؛ این ماتریس با تبدیل نمادهای روابط ماتریس SSIM به اعداد صفر و یک تشکیل مییابد بدین صورت که به جای (i,j=1, i, j=0) V و به جای (j, i=0, j,i=1) A; و به جای X; (i, j, j,i=1) و O (i, j, j, i=0) قرار داده میشود.
3. تشکیل ماتریس دستیابی نهایی؛ پس از اینکه ماتریس دستیابی اولیه به دست آمد، باید سازگاری درونی آن برقرار شود. بهعنوان نمونه اگر عامل 1 منجر به عامل 2 شود و عامل 2 هم منجر به عامل 3 شود، باید عامل 1 نیز منجر به عامل 3 شود و اگر در ماتریس دستیابی این حالت برقرار نبود، باید ماتریس اصلاح شده و روابطی که از قلم افتاده جایگزین شوند.
4. تعیین سطح و اولویت متغیرها؛ برای تعیین سطح و اولویت متغیرها، مجموعهی دستیابی و مجموعهی پیشنیاز برای هر عامل تعیین میشود. مجموعهی دستیابی، مجموعهای است که در آن سطرهای متغیر به ستون متغیر ختم شده باشند و مجموعهی پیشنیاز، مجموعهای است که در آن ستونها به سطرها ختم شده باشند، با به دست آوردن اشتراک این دو مجموعه، مجموعهی مشترک به دست خواهد آمد. اگر عوامل مجموعهی مشترک با مجموعهی دستیابی یکسان باشد، سطح اول اولویت را به خود اختصاص میدهند. با حذف این عوامل و تکرار این مرحله برای سایر عوامل، سطح تمام عوامل تعیین می شود.
5. ترسیم مدل ساختاری تفسیری؛ براساس سطوح تعیین شده و ماتریس دستیابی نهایی، مدل ترسیم میشود.
6. تجزیه و تحلیل قدرت نفوذ– وابستگی؛
جمع سطری مقادیر در ماتریس دستیابی نهایی برای هر عنصر بیانگر میزان نفوذ و جمع ستونی نشانگر میزان وابستگی خواهد بود. بر اساس قدرت نفوذ و وابستگی، چهار گروه از عناصر قابلشناسایی خواهند بود که عبارتنداز:
مستقل: عواملی که دارای قدرت نفوذ و وابستگی ضعیف میباشند.
وابسته: عواملی که دارای قدرت نفوذ کم ولی وابستگی شدید میباشند.
متصل (پیوندی): عواملی که دارای قدرت نفوذ و وابستگی زیاد هستند.
مستقل کلیدی: عواملی که دارای قدرت نفوذ قوی ولی وابستگی ضعیف میباشند.
یافتهها
در این بخش با استفاده از نظرات خبرگان از بین عوامل شناسایی شده، 8 عامل به عنوان عوامل نهایی مؤثر بر آموزش ضربهای اساسی در پایه سوم تعیین شد که در جدول 1 آمده است.
جدول 1: عوامل مؤثر بر آموزش ضربهای اساسی در پایه سوم ابتدایی
|
استنادات |
عامل |
ردیف |
|
حسینی نسب و همکاران (1397)، عزیزا و همکاران (2022)، استیل و فانل (2011)، غلام آزاد (1393)، |
کاربردی سازی تدریس آموزش ضرب |
1 |
|
مارتین شوان و همکاران (2012)، نوروزی و همکاران (1393)، |
الکترونیکی سازی آموزش ضرب |
2 |
|
جان افزاری (1396)، شب خیز (1400)، هژیرکمال (1395)، حسینی (1394) |
برنامه درسی تلفیقی |
3 |
|
رستگارپور و حسینی(1394)، ادریس و مت (2020)، ایلو کنا و همکاران (2020)، مولیجان (2018)، حامدی نسب و همکاران (1400) دامن کش و همکاران (1402) |
روشهای تدریس نوین |
4 |
|
سونمز و آلپتکین (2020)، دوین و لاک (2021)، رستگارپور و حسینی(1394) |
بستههای مداخلهای |
5 |
|
ایزودا (2020)، تروپسویک و والنت (2022)، جاهد (1397) |
توجه به فرهنگها و زبان بومی در آموزش ضرب |
6 |
|
پوبامنش و رمضانی (1390)، جان افزاری (1396)، حسینی (1402)، جاهد (1397)، عصمتی (1394) |
بازی در آموزش ضرب |
7 |
|
هژیرکمال (1395)، عباس زاده (1394)، استیل و فانل (2011)، مولیجان (2018) |
استدلال محوری در آموزش ضرب |
8 |
پس از شناسایی عوامل تاثیرگذار بر آموزش ضربهای اساسی، این عوامل با استفاده از رویکرد ISM سطحبندی شدند. بدین منظور پرسشنامههای نهایی به منظور تجزیه و تحلیل روش ISM و سطحبندی عوامل در اختیار خبرگان قرار گرفت. بدین صورت که 8 عامل انتخاب شده در سطر و ستون جدول قرار گرفتند و از پاسخدهنده خواسته شد که با توجه به نمادهای V، A، X و O نوع ارتباطات دوبه دوی عوامل را مشخص کند. روابط به دست آمده از این پرسشنامهها در جدول 2 نشان داده شده است.
جدول 2: ماتریس خودتعاملی ساختاری (SSIM)
|
ردیف |
J I |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
کاربردی سازی تدریس آموزش ضرب |
- |
V |
A |
O |
V |
V |
O |
V |
|
2 |
الکترونیکی سازی آموزش ضرب |
|
- |
A |
O |
A |
A |
O |
A |
|
3 |
برنامه درسی تلفیقی |
|
|
- |
X |
V |
V |
A |
V |
|
4 |
روشهای تدریس نوین |
|
|
|
- |
O |
O |
O |
V |
|
5 |
بستههای مداخلهای |
|
|
|
|
- |
X |
O |
V |
|
6 |
توجه به فرهنگها و زبان بومی در آموزش ضرب |
|
|
|
|
|
- |
A |
X |
|
7 |
بازی در آموزش ضرب |
|
|
|
|
|
|
- |
V |
|
8 |
استدلال محوری در آموزش ضرب |
|
|
|
|
|
|
|
- |
در این مرحله با تبدیل نمادهای روابط ماتریس SSIM به اعداد صفر و یک بر حسب قواعد ذکر شده میتوان به ماتریس RM دست پیدا کرد. نتایج حاصل در جدول 3 نشان داده شده است.
جدول 3: ماتریس دستیابی اولیه (RM)
|
ردیف |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
7 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
در این گام، باید سازگاری درونی عوامل برقرار شود. بر این اساس چنانچه A بر B موثر باشد و B نیز بر C موثر باشد، آنگاه A نیز بر C موثر خواهد بود. نتیجهی حاصل در جدول 4 ارائه شده است
|
ردیف |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
نفوذ |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
6 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
7 |
|
4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
7 |
|
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
4 |
|
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
4 |
|
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
8 |
|
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
3 |
|
وابستگی |
4 |
8 |
4 |
3 |
6 |
7 |
1 |
7 |
|
در مرحلهی بعد برای تعیین سطح و اولویت شاخصها، مجموعهی دستیابی و مجموعهی پیشنیاز برای هر شاخص تعیین میشود. جدول 5 الی 10 بیانگر نتایج این مرحله است.
جدول 5: تعیین سطوح شاخصها (سطح اول)
|
شاخص |
مجموعهی دستیابی |
مجموعهی پیشنیاز |
مجموعهی مشترک |
سطح |
|
1 |
1، 2، 3، 5، 6، 8 |
1، 3، 4، 7، |
1، 3 |
|
|
2 |
2 |
1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، |
2 |
سطح اول |
|
3 |
1، 2، 3، 4، 5، 6، 8 |
1، 3، 4، 7، |
1، 3، 4 |
|
|
4 |
1، 2، 3، 4، 5، 6، 8 |
3، 4، 7 |
3، 4 |
|
|
5 |
2، 5، 6، 8 |
1، 3، 4، 5، 6، 7 |
5، 6 |
|
|
6 |
2، 5، 6، 8 |
1، 3، 4، 5، 6، 7، 8 |
5، 6، 8 |
|
|
7 |
1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 |
7 |
7، 10، 11 |
|
|
8 |
2، 6، 8 |
1، 3، 4، 5، 6، 7، 8 |
6، 8 |
|
جدول 6: تعیین سطوح شاخصها (سطح دوم)
|
مجموعهی دستیابی |
مجموعهی پیشنیاز |
مجموعهی مشترک |
سطح |
|
|
1 |
1، 3، 5، 6، 8 |
1، 3، 4، 7، |
1، 3 |
|
|
3 |
1، 3، 4، 5، 6، 8 |
1، 3، 4، 7، |
1، 3، 4 |
|
|
4 |
1، 3، 4، 5، 6، 8 |
3، 4، 7 |
3، 4 |
|
|
5 |
5، 6، 8 |
1، 3، 4، 5، 6، 7 |
5، 6 |
|
|
6 |
5، 6، 8 |
1، 3، 4، 5، 6، 7، 8 |
5، 6، 8 |
سطح دوم |
|
7 |
1، 3، 4، 5، 6، 7، 8 |
7 |
7، 10، 11 |
|
|
8 |
6، 8 |
1، 3، 4، 5، 6، 7، 8 |
6، 8 |
سطح دوم |
جدول 7: تعیین سطوح شاخصها (سطح سوم)
|
مجموعهی دستیابی |
مجموعهی پیشنیاز |
مجموعهی مشترک |
سطح |
|
|
1 |
1، 3، 5 |
1، 3، 4، 7، |
1، 3 |
|
|
3 |
1، 3، 4، 5 |
1، 3، 4، 7، |
1، 3، 4 |
|
|
4 |
1، 3، 4، 5 |
3، 4، 7 |
3، 4 |
|
|
5 |
5 |
1، 3، 4، 5، 7 |
5 |
سطح سوم |
|
7 |
1، 3، 4، 5، 7 |
7 |
7، 10، 11 |
|
جدول 8: تعیین سطوح شاخصها (سطح چهارم)
|
مجموعهی دستیابی |
مجموعهی پیشنیاز |
مجموعهی مشترک |
سطح |
|
|
1 |
1، 3 |
1، 3، 4، 7، |
1، 3 |
سطح چهارم |
|
3 |
1، 3، 4 |
1، 3، 4، 7، |
1، 3، 4 |
سطح چهارم |
|
4 |
1، 3، 4 |
3، 4، 7 |
3 |
|
|
7 |
1، 3، 4، 7 |
7 |
7 |
|
جدول 9: تعیین سطوح شاخصها (سطح پنجم)
جدول 10: تعیین سطوح شاخصها (سطوح ششم)
|
شاخص |
مجموعهی دستیابی |
مجموعهی پیشنیاز |
مجموعهی مشترک |
سطح |
|
7 |
7 |
7 |
7 |
سطح ششم |
براساس نتایج به دست آمده از دیدگاهها و نظرات خبرگان این حوزه و تحلیل سلسله مراتبی میتوان گفت طبق این دیدگاهها :
عوامل تاثیرگذار بر آموزش ضربهای اساسی به ترتیب وزن و سطح (هرچه به قاعده هرم نزدیک باشیم وزن عامل بیشتر و سطوح اولویت دار را به خود اختصاص میدهند) که عبارتند از:
بازی در آموزش ضرب در سطح ششم با اولویت اول.
روشهای تدریس نوین در سطح پنجم با اولویت دوم.
کاربردی سازی تدریس و برنامه درسی تلفیقی در سطح چهارم با اولویت سوم.
بستههای مداخلهای در سطح سوم با اولویت چهارم.
استدلال محوری و توجه به فرهنگ و زبان بومی در سطح دوم با اولویت پنجم.
الکترونیکی سازی آموزش ضرب در سطح اول با اولویت ششم.
نتیجه گیری
از دیدگاه خبرگان، عامل بازی در آموزش ضرب به عنوان اولویت اول بود. نتیجه به دست آمده با نتایج پژوهش حسینی ( 1402)، ده بزرگی شیرازی (1399)، جان افزاری (1396)، پویا منش و رمضانی (1390)، رستگار پور و حسینی (1394) همسو است. بازی ریاضی نقش بسیار مهمی در آموزش ریاضی دارد که اهمیت آن امروزه برای همه ثابت شده است. زیرا کودکان توانایی زیادی در حل مسئله، مشخص کردن اشیاء و ارائه راه حل خلاقانه دارند. دانش آموزان میتوانند از بازیهای کلاسی برای همکاری متقابل، تمرین مشارکت تیمی و … استفاده کنند. مربی برای اینکه این بتواند به هدف آموزشی خود در قالب بازی دست پیدا کند به یک برنامه سازمان یافته نیاز دارد. همچنین، بازیها در حوزه ریاضیات باید جالب و چالش برانگیز باشند. استفاده از فعالیتهای تفریحی و بازی در ریاضیات کاملاً با رشد شناختی کودک مرتبط است. بازی ریاضی، تفکر منطقی و مهارتهای کودکان را توسعه میدهد. آنها را به درک ریاضیات به عنوان یک موضوع دلپذیر سوق میدهد و باعث ایجاد پیوندهای مثبت در رابطه بین معلم و دانش آموز میشود. بازیها در مدرسه مهم هستند، زیرا از طریق آنها کودکان استدلال منطقی را توسعه میدهند و ارتباطات خود را بهبود میبخشند.
از نظر رشد فکری، استفاده از خلاقیت در کلاسهای درس ریاضی ابزاری را برای دانش آموز فراهم میکند تا ریاضیات را بیاموزد و بر مشکلات یادگیری غلبه کنند. بازی ریاضی، اگر به درستی برنامه ریزی شود، منبع آموزشی مؤثری برای ایجاد دانش ریاضیات است. یادگیری از طریق بازیهایی مانند دو مینو، جدول سوداکو و غیره به دانش آموز این امکان را میدهد که یادگیری را به یک فرآیند جالب و حتی سرگرم کننده تبدیل کند. محققان در زمینه آموزش ریاضیات با بازی بر اساس نمونههای تحقیقاتی خود این موضوع را که آموزش ریاضی با بازی در یادگیری بسیار موثر است اشاره بر این داشتند که استفاده از بازی ریاضی نیاز به تغییر شیوه آموزش دارد. هدف از این کار این است که بازیهای به بهبود شیوههای آموزشی معلمان کمک کند. بازیها، ابزارهای معتبر و ملموسی برای آموزش ریاضی در نظر گرفته میشوند که در مدارس کاربرد زیادی دارند. امروز باید به بازی ریاضی اهمیت زیادی بدهیم، زیرا نیاز همیشگی هر فردی در هر سنی است و نمیتوان آن را تنها به عنوان یک لذت تلقی کرد. علاوه بر این، معلم باید در طراحی بازیها هوشیار باشد و بتواند با مزایا و مضراتی که در بازیها مشهود است مقابله کند. هنگام در نظر گرفتن استفاده از بازیها برای آموزش ریاضیات، مربیان باید بین یک «فعالیت» و یک «بازی» تمایز قائل شوند. گوف یکی از محققان پیشرو در زمینه آموزش با بازی بیان میکند که “یک بازی” نیاز به دو یا چند بازیکن دارد که به نوبت هر کدام برای دستیابی به یک موقعیت “برنده” رقابت میکنند و هر کدام میتوانند انتخابی در مورد نحوه حرکت در هر زمان انجام دهند. ایده کلیدی در این سخن «انتخاب» است. به همین دلیل، چیزی مانند مار و پله یک بازی کامل محسوب نمیشود. زیرا برنده شدن کاملاً به شانس بستگی دارد. بازیکنان هیچ تصمیمی نمیگیرند و نباید بیشتر از شمردن فکر کنند. همچنین هیچ تعاملی بین بازیکنان وجود ندارد. هیچ کدام از کارهایی که یک بازیکن انجام میدهد به هیچ وجه بر کار بازیکنان دیگر تأثیر نمیگذارد. بر اساس تحقیقاتی که بر روی علاقه و استعداد دانش آموزان در آمریکا صورت گرفت تعداد زیادی از دانش آموزان ابراز کرده بودند که استعداد ریاضی ندارند و برای حل مسائل ریاضی مناسب نیستند. از طرفی تحقیقات نشان میدهد که همه افراد استعداد یادگیری ریاضی دارند.
یکی از دلایل اینکه بیشتر بچهها فکر میکنند استعداد ریاضی ندارند این است که در کلاس ریاضی بیشتر، بچههایی مورد تشویق قرار میگیرند که حافظان خوبی هستند. معمولاً افرادی که سریع حساب میکنند شاید به دنبال روشهای خلاقانه نباشند. با این حال جو بولر، استاد دانشگاه استنفورد، هشدار میدهد که آموزشهایی که صرفاً مبتنی بر حفظ کردن و حساب است، میتواند دانش آموزان را به بیزاری از ریاضی سوق دهد. در نهایت درک عمیق ریاضی کمک میکند دانش آموزان دید باز تری نسبت به مسائل اطراف خود داشته باشند و به راحتی بتواند سالهای بعد را با پایهای قوی پشت سر بگذارند. درک مفهومی و عمیق ریاضی به معنای تسلط است، به این معنی که دانش آموزان باید قبل از اینکه سطح بعدی در دسترس آنها قرار گیرد، هر سطح را با نمره کامل بگذرانند. هر دانش آموز سفر یادگیری شخصی خود را دارد. در طول سفر یادگیری از مواردی که میتواند به خوبی دانش آموز را راهنمایی کند بازخورد به هنگام است. این موضوع به دانش آموزان این پیام را میدهد که اشتباهات فرصت مناسبی برای یادگیری هستند. بازخورد یک تجربه یادگیری انگیزشی ارائه میدهد که به دانش آموزان پیامدهای ریاضی هر پاسخ را نشان میدهد و به شکل دادن درک آنها کمک میکند.
دومین اولویت روشهای تدریس نوین بود. نتیجه به دست آمده با نتایج پژوهش پویا منش و رمضانی (1390) و صمدی و همکاران (1401) همسو است. ضرب به عنوان یکی از مبحثهای ریاضی پایه سوم مطرح است و یادگیری آن توسط دانش آموزان حائز اهمیت است به طوری که اگر دانش آموزان مفهوم آن را خوب نمیآموزند در بحثهای بعدی با مشکل مواجه خواهند شد ارائه روشهای مفید برای یادگیری ضرب بسیار میتوان در یادگیری آنها کمک کند اهمیت و ثمر بخشی روشهای تدریس و یادگیری بهتر همواره مورد نظر دانشمندان و محققان علوم تربیتی است برای آموزش به این دانش آموزان مورد مطالعه از روش یادگیری مشارکتی استفاده شده است در تدریس مفهوم ضرب و خواص آن، اگر مراحل قدم به قدم جلو رفته باشیم دانش آموز آن را یاد میگیرد یعنی طوطیوار فورا جواب نمیدهد بلکه با کمی تامل جواب میدهد این درنگ کردن فراگیر، نشان دهنده ی، ارائهی استدلال و کاربرد منطق ضرب میباشد. برخلاف گذشته، کلاسهای درس تا حدود زیادی اعتبار خود را به عنوان تنها منبعی که در آن دانش آموزان قادرند دانش و آگاهیهای لازم را کسب نمایند، از دست داده است. پیشرفت در کل زمینههای فن آوری آموزشی موجب گردیده که همه روزه اطلاعات جدید و فراوانی در اختیار افراد جامعه قرار گیرد. به اعتقاد صاحبنظران ، یکی از وظایف مهم آموزش و پرورش امروزی، ایجاد محیطی است که در آن دانش آموزان نگرش خاصی از مدرسه، حرفه و آینده خود و به طور کلی از جامعه به دست آورند . بدون شک، نگرشی که دانش آموزان در مدرسه کسب میکنند در جهت رشد عاطفی، روانی و اجتماعی ایشان بسیار مؤثر میباشد. از این رو، معلمان میتوانند با به کار گیری اقدام پژوهی یادگیری جدول ضرب در ریاضی مناسب، مهارتها و نگرشهایی مانند مسئولیت پذیری، استقلال عمل و خودآموزی را در دانش آموزان پرورش دهند. بدیهی است که جهان آینده به انسانهایی نیاز دارد که خلاق و توانمند باشند، ویژگیهای عصر اطلاعات را به خوبی درک کنند و نیز بتوانند فعالانه به دانشهای مورد نیاز بپردازند. فعالیتهای گروهی یکی از مهمترین عواملی است که میتواند اوقات فراغت دانشآموزان را پر کنند و بر رشد فرهنگی یک نظام مؤثر واقع شود و بدون آن حیات معنوی یک جامعه به خطر میافتد. پس میتوان دانش آموزان را به کلاسهای فوق برنامه دعوت کرد و این کار باعث رشد و شکوفایی و خلاقیت آنها شد.
از جمله کارکردهای مهم فعالیتهای گروهی میتوان به موارد ذیل اشاره کرد: ۱- خلاقیت: فرد حداکثر بهره را گرفته، با آزاد اندیشی تفکر واگرا مسائل را بررسی میکند و به راهحلهای نو دست مییابد. ۲- توسعه مهارتهای شناختی: فرد بدون اینکه تکلیف خاصی را بر عهده داشته باشد با علاقه و انگیزه شخصی مسلماً تلاش وی مطلوب و خوشایند خواهد بود. ۳- تقویت مهارت حسی و حرکتی: تأثیر مهارتهای حسی و حرکتی و فعالیت ورزشی بر فعالیتهای ذهنی و عاطفی به گونهای است که بسیاری از روانشناسان تعلیم و تربیت عقیده دارند که این قبیل فعالیتها میبایست در درجه اول جزء برنامههای آموزشی قرار داده شود، چون آشنایی افراد با فعالیتهای حسی و حرکتی نه تنها موجب تقویت فعالیتهای ذهنی، بلکه موجب نشاط روانی و سرزندگی، تقویت اعتماد به نفس و بالطبع بهداشت روانی خواهد شد. ۴- اصلاح رفتار و تعالی شخصیت: برای اصلاح بسیاری از اختلالات رفتاری نظیر پرخاشگری، افسردگی، کمرویی، اضطراب شناخته شده است. ۵ – بهداشت روان ۶- رفتارهای اجتماعی: مناسبترین و مطلوبترین موقعیت برای اندیشه و تفکر خلاق رفتارهای مطلوب فردی و اجتماعی است.
سومین اولویت از دیدگاه خبرگان، کاربردی سازی ضرب و برنامه درسی تلفیقی است. نتیجه به دست آمده با نتایج پژوهش حامدی نسب و همکاران(1400) همسو است. همه ما در زندگی روزمره خود آگاهانه یا نا آگاهانه از علم ریاضیات استفاده میکنیم و میتوان گفت بدون کمک گرفتن از اصول پایه ریاضی زندگی بسیار سخت و حتی غیر ممکن میشد. هدف از آموزش ریاضی در دوره ابتدایی، علاوه بر آموزش مفاهیم ریاضی و محاسبات، پرورش تواناییهای ذهنی دانشآموز و ایجاد نظم فکری در اوست؛ بنابراین، به هیچ وجه نباید دانش آموز را به حفظ کردن قواعد ریاضی، بدون درک آنها، وا داشت. برای حصول نتیجه مطلوب، کتاب و شیوه آموزش آن باید بر مبنای، فعالیت دانش آموز تنظیم شود تا دانش آموز بتواند در جریان فعالیت، خود مفاهیم را فرا بگیرد، قواعد را کشف کند، در حد مناسبی به فکر کردن هدایت شود و بتواند آنچه را فراگرفته است، در حل مسائل پیرامونش به کار گیرد. بسیاری از افراد از همان دوران ابتدایی از ریاضی میترسیدند و میترسند بیشتر اوقات ریاضی را ضرب و شتم و بی میلی و ترس یاد میگرفتند و میگیرند و هیچگاه به این سؤال پاسخ داده نشده که چرا ریاضی برای بچهها مقولهای سنگین و غولآسا جلوه داده شده دلیل آن چیست؟ شاید یک دلیل این باشد که حیطه عاطفی در تدریس ریاضی بسیار ضعیف اجرا میشود و یکنواخت تدریس شدن این درس مهم بدون استفاده از شیوهها و وسایل کمک آموزشی را دلیل دیگر آن دانست و دهها دلیل دیگر، در حالی که ریاضی یکی از مهمترین دروس پایه، از ابتدایی تا دورههای تخصصی است شیوههای نوین تدریس میتواند کم توجهی و بیمیلی نسبت به ریاضی را در جامعه کم رنگ کند. در شیوههای سنتی، ریاضی فقط در ساعات ریاضی و در برنامه هفتگی محدود میشد. اما در شیوههای نوین ریاضی را میتوان با تمام دروس، تلفیق و کاربردی کرد. بسیاری از فعالیتهای مدرسهای معنادار نیستند، زیرا دانش آموزان نه تنها فقط دلیل آنها را نمیدانند، بلکه از هدف و سودمندی آنها هم آگاهی ندارند. برخی وقتها، دانش موجود میتواند در قالب شیوه درک اطلاعات جدید جلوهگر شود. با اینکه اغلب این مورد در یادگیری ریاضیات و علوم تجربی پیش میآید، ولی میتواند در همه زمینههای موضوعات درسی به کار گرفته شود. دلیل وقوع آن، درک و فهم ما از دنیای فیزیکی و اجتماعی و تاریخ از نظریه پردازی درباره اعداد و غیره است. از آن جایی که درک و فهم عمیق، در بافتهای معنادار پرورش مییابد، از این رو موضوعهای مجزایی نظیر علوم تجربی، ریاضی، انشا، دینی، فارسی و... کنار هم گذاشته میشوند. برنامه درسی کلاسهای ساختگرا عموما، ماهیت تلفیقی دارند. این کلاسها به دانش آموزان فرصت تداوم تفکرشان را از طریق کاوش گری تا رسیدن به دیدگاههای بزرگ را میدهد. باور بر این است که موضوعهای درسی به قدر کافی کلیت دارند که دیدگاهها و سطوح مختلف و متفاوتی از مشارکت را تلفیق کنند.
بستههای مداخلهای اولویت چهارم در آموزش ضربهای اساسی بودند. نتیجه به دست آمده با نتایج پژوهش سونمز و آلپتکین (2020)، دوین و لاک (2021)، رستگار پور و حسینی(1394) همسو است. خوشبختانه در سالهای اخیر علاقه فزآیندهای به مداخلات ریاضی برای کودکان در معرض خطر مشکلات یادگیری ریاضی وجود داشته است. شواهد تجربی و فرا تحلیلهای موجود در سطح بین المللی مستدل کردهاند که برنامههای مداخلهای ریاضی برای بهبود عملکرد کودکان در معرض خطر یادگیری ریاضی مؤثر واقع شدهاند. آنیو" (2010) اذعان میدارد یک چارچوب مفهومی قوی برای توسعه برنامههای مداخلات ریاضی به هنگام مورد نیاز است تا اطمینان حاصل شود که برنامه درسی از مفاهیم و مهارتهای لازم برای بهبود مشکلات یادگیری ریاضی کودکان پشتیبانی میکند؛ چراکه برخی از مداخلات مسیرهای یادگیری کودکان در معرض خطر مشکلات یادگیری ریاضی را تغییر دادهاند، اما بدون مداخله نتایج ممکن است چندان امیدوار کننده نباشد. با این وجود در سطح ملی تنها تعداد معدودی از مطالعات به طور تجربی به پیشگیری و بهبود مشکلات یادگیری ریاضی کودکان در معرض خطر پرداختهاند. به طوری که پژوهشها عمدتاً در زمینه اقدامات مداخلهای در مقیاس وسیع رنج میبرند. این در حالی است که جردن و همکاران (2015) اظهار داشتند مطالعات مداخلهای دقیق به تعیین بهترین رویهها برای بهبود مشکلات ریاضی کودکان در معرض خطر کمک میکنند. افزون بر این از آنجایی که نهادهای آموزشی ملی و بومی با تصمیمات بسیاری در مورد مداخلات تحصیلی سروکار دارند شناسایی ویژگیهای مداخلات مناسب و به هنگام برای بهبود و ارتقاء عملکرد کودکانی که در معرض خطر مشکلات یادگیری ریاضی هستند. از اهمیت و ضرورت بالایی برخوردار است.
استدلال محوری و توجه به فرهنگ و زبان بومی از دیدگاه خبرگان در اولویت پنج قرار گرفت. نتیجه به دست آمده با نتایج پژوهش تروپسویک و والنت (2022) و ایزودا (2021) همسو است. با توجه به اهمیت ریاضی به عنوان یکی از پایههای تمدن جوامع و موضوعات قدیمی و اصلی در برنامههای درسی، علمای برنامه درسی، برنامه ریزان درسی، متخصصان رشته درسی ریاضی و روانشناسان نظریههای مختلفی را در مورد برنامه درسی و به ویژه رابطهی آن با فرهنگ و اجزای فرهنگ تبیین کردهاند نظریه فرهنگی – اجتماعی که منشاء اصلی آن کارهای روان شناس برجسته روسی ویگوتسکی است (کیل پاتریک ،2003) موجب شده تا برنامه درسی یا زمینه فرهنگی استنباط شود برای تغییر برنامه درسی ریاضی به عنوان یک رشته علمی محض و البته مهم و جذاب بر مبنای فرهنگ و عوامل اجتماعی بیشاب چنین برنامه درسی را برگرفته از تمام فرهنگها میداند که الزاما از یک گروه فرهنگی به گروه دیگر یکسان و یک شکل نخواهد ماند. به نظر میرسد همان گونه که هر قوم یا ملتی برای خود ایجاد کننده زبان، عقاید مذهبی و غیره است قادر به ایجاد ریاضیات خود نیز میباشد (بیشاب ،1988) بیشاب بر این مطلب تاکید میکند که ریاضیات و آموزش و تدریس آن در شرایط مختلف متفاوت است و یکی از این شرایط فرهنگ است (لونگ ،2008) یکی از ویژگیهای برنامه درسی ریاضی با رویکرد فرهنگی محور بودن تجربه ریاضی است. از عوامل فرهنگی در برنامه درسی ریاضی میتوان به ارزشها اشاره کرد که چنانچه برنامه درسی ریاضی چیزی برای توسعه ارزشها همراه نداشته باشد. اساسا برنامهای مفید جهت آموزش ریاضی به حساب نمیآید. آموزش فرهنگی شکلی از آموزش یا تدریس میباشد که برای ارزشها، عقاید، دیدگاهها و پیشینههای فرهنگی مختلف ارزش قائل است و تفاوتهای فرهنگی را به شیوهای هدفمند در آموزش در نظر میگیرد. در این رویکرد آموزشی،» فرهنگ «معنای گستردهای دارد و نژاد، قومیت، ملیت، زبان، مذهب، طبقه، جنسیت و … را در بر میگیرد. درس ریاضی به عنوان یکی از دروس بسیار مهمی که در مدارس کشور تدریس میشود و چالشهای زیادی را برای معلمان، دانش آموزان و والدین آنها به وجود میآورد، نیاز دارد توجه ویژهای به آن شود تا تدریس و یادگیری آن آسانتر شود و معلمان، دانش آموزان و والدین با چالشهای کمتری مواجه شوند.
آخرین اولویت از دیدگاه خبرگان مربوط به الکترونیکی سازی آموزش ضرب بود. نتیجه به دست آمده با نتایج پژوهشهای مارتین شوان و همکاران (2012)، نوروزی و همکاران (1393) همسو است. امروزه تمامی معلمان به دنبال راهکارهایی برای افزایش بازدهی تدریس و آموزش در فضای مجازی هستند، شاید در نگاه اول تدریس در فضای مجازی کاری آسان به نظر برسد اما این موضوع در مورد همه دروس صدق نمیکند و نحوه عملکرد در تدریس هر درس متفاوت میباشد. یکی از چالش برانگیزترین تدریسها در کلاسهای آنلاین آموزش مجازی ریاضی میباشد. با توجه به مفهومی بودن درس ریاضی نمیتوان این انتظار را از دانش آموزان داشت که مفاهیم و فرایندهای ریاضی را تنها با نشستن و نگاه کردن به صفحات کتاب بیاموزند. در اینصورت معلمان ریاضی باید روشهای تدریس خود را با ابزارها و نرم افزارهای به روز منطبق کنند و با ایجاد خلاقیت در تدریس مجازی زمینه را برای انتقال مفاهیم ریاضی و یادگیری آسانتر دانش آموزان فراهم کنند. معلمان ریاضی باید در نظر داشته باشند همانطور که در کلاسهای حضوری نیاز به تکرار، تثبیت مفاهیم ریاضی، تمرین و حل نمونه سوالات از اهمیت ویژهای برخوردار است، در کلاسهای مجازی نیز باید این مسائل مورد توجه قرار بگیرد و این امر مستلزم به کار گیری درست ابزارها و تکنولوژی برای ارائه مطالب درسی است.
محدودیتهای پژوهش
این مطالعه همچون سایر مطالعات محدودیتهایی داشته است. ازجمله محدود شدن پژوهش به دانش آموزان یک منطقه که تعمیم نتایج را با محدودیت مواجه خواهد کرد. یکی دیگر از محدودیتها کافی نبودن زمان به منظور استفاده از ابزار مکمل پرسشنامه مثل مصاحبه از خبرگان پژوهشی جهت غنا بخشیدن به کار بود.
پیشنهادات
با توجه به مفاهیم استخراج شده در پژوهش، پیشنهاد میشود، معلمان درس ریاضی به روشهای تدریس نوین تسلط کامل داشته باشند و از بدیعترین و جذابترین روشهای درکهای مفهومی و عملیاتی مفاهیم ضرب استفاده کنند. همچنین پیشنهاد میگردد با حداکثر قوا ارتباط بین مفاهیم ضرب در حالت کلی و جزئی با زندگی روزمره ایجاد گردد تا دانش آموزان احساس بی میلی و بی کاربردی در آموزش ضرب داشته باشند و کاربرد ریاضی در زندگی را درک کنند. و دیگر اینکه، استدلال در مفاهیم ضرب تقویت گردد این امکان زمانی فراهم میگردد که معلمان از دعوت به حفظ کردن اطلاعات و مفاهیم ریاضی خودداری کرده و حداکثر تلاش برای تقویت تفکر منطقی و استدلالی را داشته باشند. برای پژوهشهای آتی پیشنهاد میشود در یک مطالعه کیفی موانع عدم ایجاد درک مناسب از ریاضی دانش آموزان بررسی شود همچنین در یک مطالعه پکیج آموزشی براساس نتایج پژوهش حاضر طراحی و تاثیر آن بر یادگیری ضرب در دانشآموزان بررسی شود.
تشکر و قدردانی: در پایان از تمامی کسانی که در این پژوهش ما را یاری رساندند به جهت همکاری در این پژوهش تشکر میگردد
